最近化學課在教晶體堆積結構，到體心立方結構時出了神就想到了下面這個東西。
考慮一個中心點在(0,0,0)的正方形，邊長為2，則四個頂點為(1, 1), (1, -1), (-1, -1), (-1, 1)。
在各個頂點畫出半徑為1的圓，則最中間-也就是(0, 0, 0)-會有空隙，可以放入一個直徑為方形對角線減去2的圓。
把它一般化一下，設正方形邊長為2r，則外邊四圓半徑為r，而中心圓的半徑為$\sqrt{2} r - r=(\sqrt{2} - 1)r$
現在將問題拓展到三維。
同樣的利用對角線減去邊長找出中心圓直徑，對角線: $\sqrt{(2r)^2 + (2r)^2 + (2r)^2}$，則中心圓半徑為$(\sqrt{3} - 1)r$
猜測: $r’ = (\sqrt{n} - 1)r$, $n$為維度, $r’$為中心圓半徑。
證明:
n維正立方體對角線為$\sqrt{n(2r)^2}$，而根據圓的定義，從球心到球面上各點距離相同，則球心與對角線的交點距離r，則$r’ = \sqrt{n} r - r = (\sqrt{n} - 1)r$
第2, 3維都可以理解，但是當我來到4維後，出現了一個弔詭的現象。
設$r’=t_nr$，$t_n$為第n維下的比值，依上面的推論$t_n=\sqrt{n} - 1$。
$t_4 = 1$，也就是說中心圓的直徑已經跟正方體的邊長相同了!
$t_5 = 1.236..$，已經超出正方體了。
甚至連體積都比容納他的正方體還大，以我的智商實在無法理解0.0