極限應該是大部分人學習微積分第一個學的吧。
很多人都會把極限當成純粹把數字帶進去，尤其是初學者，然而如果是以這種方式去了解，之後面對不連續的函數時，將會感到困惑、不直覺，只有了解極限的定義後才可以有好的觀念去處理之後的問題。
序列極限:
設$ \{ x_n \} , x_n \in R, L \in R, n=1,2…$，存在任意實數$\epsilon$與$N$使得當$n>N$，存在$|x_n - L| < \epsilon$，則稱序列${x_n}$存在極限值$L$。
這是柯西在19世紀給出的極限的定義，而正是這種定義使現代微積分(極限微積分)與古典微積分(無窮小微積分)畫上了界線。
舉個例子，$\{0.1, 0.001, 0.0001, 0.00001, …, 10^{-k}\}$，我們可以找到任意實數，存在$|x_n - 0|< \epsilon$，所以這個序列存在極限值0。
理解了序列極限，函數極限就不難理解了。
函數極限:
假設有一個實函數$f(x)$，而對於點$x$可以找到任意實數$\delta$使得$|x - c|< \delta$，如果我們可以找到任意實數$\epsilon$，以及一個實數$L$，使得$|f(x)- L|< \epsilon$，則我們說$\lim\limits_{x\to c} f(x) = L$
利用剛剛的序列極限思想，可以很輕鬆的理解，一個序列$\{x_k\}$不斷趨近於$c$，同時定義序列$\{f(x_1), f(x_2), f(x_3), …, f(x_k)\}$，可以找到任意實數使$|f(x_n)-L|< \epsilon$，則此函數在$c$上的極限值為$L$
我以前常常思考 “趨近”是否就是”等於”?
後來我認為，這兩種觀念不該混為一談，別再問”趨近”是不是”等於”了，這兩個根本無法比較。
趨近是指一個序列的極限值為某數，所以一般寫 某個極限=某個數字，是指說 這個序列的極限值=某個數字。
再補充一點，當時柯西寫出極限定義時，實數還是不完備的，可能中間還有奇怪的數字(A理數, B理數…)，之後由許多數學家寫出實數基本定理後才使上面的定義變嚴謹。
實數基本定理證明了實數是連續的，且只要兩實數中間無任何實數則兩實數相等。
極限性質
_只有當右側極限存在才成立。_
$\lim\limits_{n\to c} k\times f(n) = k \times \lim\limits_{n\to c} f(n)$
$\lim\limits_{n\to c} [f(n) + g(n)] = \lim\limits_{n\to c} f(n) + \lim\limits_{n\to c} g(n)$
$\lim\limits_{n\to c} [f(n) - g(n)] = \lim\limits_{n\to c} f(n) - \lim\limits_{n\to c} g(n)$
$\lim\limits_{n\to c} [f(n) \times g(n)] = \lim\limits_{n\to c} f(n) \times \lim\limits_{n\to c} g(n)$
$\lim\limits_{n\to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\lim\limits_{n\to c} f(n)}{\lim\limits_{n\to c} g(n)}$
精選題目區:
- $\lim\limits_{x\to 0} \frac{|x|}{x}$
- $\lim\limits_{x\to 3^+} \lfloor x \rfloor$, $\lim\limits_{x\to 3^-} \lfloor x \rfloor$
- $\lim\limits_{x\to 2^+} \frac{x-3}{x^2-4}, \lim\limits_{x\to 2^-} \frac{x-3}{x^2-4}$
- $\lim\limits_{x\to 2} \frac{(x-2)^2}{x^2-4}$
- $\lim\limits_{x\to 2^+} tan^{-1} \frac{1}{x-2}$
- $\lim\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$
- $\lim\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin (\theta - 1)}{\theta - 1}, \lim\limits_{\theta \to 1} \frac{\sin (\theta - 1)}{\theta - 1}$
- $\lim\limits_{\theta \to 0} \frac{\cos \theta -1}{\theta}, \lim\limits_{\theta \to 0} \frac{\cos \theta -1}{\theta ^2}$
- $\lim\limits_{x\to 0} tan x \sin \frac{1}{x}$
題目講解區:
左極限、右極限不同，所以不存在極限。
Answer:不存在極限如果你把它的函數圖形畫出來，你就會知道了。
Answer:3,2(a)上方極限為-1，下方為0，則極限值為$- \infty$
(b)上方極限為-1，下方為-0，則極限值為$\infty$
Answer: $- \infty$,$\infty$先把x-2這個因式消掉就可以了。
Answer:0實際上這個等同於$\lim\limits_{x\to 0^+} tan^{-1} \frac{1}{x}$，而又等同於$\lim\limits_{x\to \infty ^+} tan^{-1} x$，這下你就知道了。
Answer: $\frac{\pi}{2}$需要用到夾擠定理(三明治定理)，依下圖可以寫出不等式$\frac{\sin \theta}{2} \leq \frac{\pi \theta}{2 \pi} \leq \frac{tan \theta}{2}$(三角形與扇形面積)，解出來就得到答案。
Answer:1同樣的，兩個都可以將$\theta -1$替換掉，跟第五題一樣。
Answer: $\sin 1$, 1$\frac{\cos \theta -1}{2}= \sin^2 \frac{\theta}{2}$，使用這個公式就好(ゝ∀･)
Answer:0, $- \frac{1}{2}$$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$，$-tan x \leq \sin \frac{1}{x} \leq tan x$，當x趨近於0，$0 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 0$(夾擠定理)。
Answer:0