微分

定義一函數的平均變化率為 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ，則 $\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 為該函數在點 $x$ 的瞬間變化率。又可以寫成 $\frac{df(x)}{dx}$

有些人會把 $\frac{df(x)}{dx}$ 當作一種表示方法: $f(x)$ 對 $x$ 微分，但是我認為以另一種方式去理解的話會有更加深刻的看法。

對於一個曲線，我們可以取兩點 $a, b$ ，並且得知兩點之間的平均變化率。

而現在我們把 $|b-a|$ 慢慢縮小

越來越小…

我們可以寫成 $dx = b - a$ ，表示一個微小的 $x$ 變化，同樣的這個曲線的輸出值 $f(x)$ ，也會有個微小的輸出變化 $dy = f(b) - f(a) = f(a + dx) - f(a)$ ，而這段的平均變化率寫成 $\frac{dy}{dx}$ 。
所以 $dx, dy$ 是可以有意義的，不只是表示而已，至少我這樣理解一直都是對的，知道這點會讓以後的微積分運算變得直覺許多。

具象化微分公式

加法: $\frac{d(f(x) + g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx} + \frac{dg(x)}{dx}$
$f(x)+g(x)$ 可以看成兩條線相連，而 $df(x)$ 、 $dg(x)$ 則是微小的變化量，寫成 $d(f(x) + g(x))=df(x) + dg(x)$ ，同除 $dx$ ，取極限，噹噹(｡A｡)

乘法: $\frac{d(f(x)g(x))}{dx}=\frac{df(x)g(x)}{dx} + \frac{dg(x)f(x)}{dx}$
$f(x)\times g(x)$ 可以看成一個矩形的面積，

求面積變化量相當於微小的變化量 $df(x)g(x)$ 、 $dg(x)f(x)$ 與 $dg(x)df(x)$ 的和。
寫成 $d(f(x)g(x)) = df(x)g(x) + dg(x)f(x) + df(x)dg(x)$ ，兩邊同除 $dx$ ，取極限 $\lim\limits_{dx\to 0}$ ，得到 $\frac{df(x)g(x)}{dx} + \frac{dg(x)f(x)}{dx} + \frac{dg(x)df(x)}{dx}$
最後一項會因為 $dg(x)$ 取了極限而為0(或是 $df(x)$ 都可以，看你的 $dx$ 要跟誰除)。
最後就成為了 $\frac{f(x)\times g(x)}{dx}=\frac{df(x)g(x)}{dx} + \frac{dg(x)f(x)}{dx}$

減法: $\frac{d(f(x) - g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx} - \frac{dg(x)}{dx}$
就跟加法一樣的想法，不多贅述。

除法: $\frac{d\frac{f(x)}{g(x)}}{dx} = \frac{\frac{df(x)g(x)}{dx}-\frac{dg(x)f(x)}{dx}}{g^2(x)}$
這個我不知道怎麼具象化出來…只能用代數去解了(´・ω・`)
$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$
$h(x)g(x) = f(x)$
$\frac{dh(x)g(x)}{dx} + \frac{dg(x)h(x)}{dx} = \frac{df(x)}{dx}$

$\frac{dh(x)g(x)}{dx} = \frac{df(x)}{dx} - \frac{dg(x)h(x)}{dx}$

$\frac{dh(x)}{dx} = \frac{\frac{df(x)}{dx} - \frac{dg(x)h(x)}{dx}}{g(x)}$

$\frac{dh(x)}{dx} = \frac{\frac{df(x)}{dx} - \frac{dg(x)\frac{f(x)}{g(x)}}{dx}}{g(x)}$

$\frac{dh(x)}{dx} = \frac{df(x)g(x)}{dx g^2(x)} - \frac{dg(x)f(x)}{dx g^2(x)}$

$\frac{d\frac{f(x)}{g(x)}}{dx} = \frac{\frac{df(x)g(x)}{dx}-\frac{dg(x)f(x)}{dx}}{g^2(x)}$

冪次: $\frac{dx^n}{dx} = nx^{n-1}$

從 $n=2$ 開始，可以想像一個 $x\times x$ 的正方形，其變化量是 $d(x^2)=2dx \times x + dx^2$ ，同除 $dx$ ，取 $dx\to 0$ 的極限下，會讓 $dx$ 接近0而被消去
$n=3$ ，想像一個 $x\times x\times x$ 的立方體，變化量是 $d(x^3) = 3dx\times x^2 + 3dx^2\times x + dx^3$ ，同上面的操作。
$n=4$ ，無法想像但是可以找到一些規律，變化量是 $d(x^4) = 4dx\times x^3 …$ 之類的，因為之後的項全都有 $dx$ ，所以都會被忽略掉。
$n=n$ ，可以想到 $d(x^n) = ndx\times x^{n-1}…$ ，得到 $\frac{dx^n}{dx} = nx^{n-1}$

鏈式: $\frac{dg(f(x))}{dx} = \frac{dg(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}$

把 $f(x)$ 看做一個數 $k$

可以寫出 $\frac{dg(k)}{dk} \times dk = dg(k)$ ，其中 $dg(k)$ 為這個函數 $g(x)$ 的變化量。
將 $k$ 寫回去後， $\frac{dg(f(x))}{df(x)} \times df(x) = dg(f(x))$ ，同除 $dx$ ， $\frac{dg(f(x))}{df(x)} \times \frac{df(x)}{dx} = \frac{dg(f(x))}{dx}$

隱微分

相信一開始學到圓方程式如何微分時，大部分人都會感到困惑。
書上都直接寫 $x^2+y^2=r^2$ ，微分 $2xdx+2ydy=0$ ，做一下對調 $-\frac{x}{y}=\frac{dy}{dx}$ ，就好了。
看起來很對，但是很奇怪，我們到底在對甚麼微分?

其實本質上仍然是對 $x$ 微分，只是書本常常省略(可能只是我看的書沒寫)。
假設 $y=f(x)$ ， $x^2+f(x)^2=r^2$ 對 $x$ 微分， $2x+2f(x)\frac{df(x)}{dx}=0$ ，排列一下 $\frac{df(x)}{dx}=-\frac{x}{f(x)}$ ，把 $f(x)$ 換成 $y$ ，這跟上面那個微分方式是等價的。

隱微分對於複雜的方程式非常有用。

泰勒展開式

有些函數很難求出某些特定值，例如 $cos 9.02323$ 這種，如果可以把它寫成多項式的話，就可以得到近似值。
我們說某個多項式等於某個函數，只要他們的各階導數相同。

推導(以 $cos x$ 當例子):
我們假設有一個多項式 $ax^2+bx+c$ ，我們要讓他盡量等於 $cos x$ ，首先注意到的是 $cos 0=1$ ，所以 $c=1$ 。
接著 $\frac{dcos x}{dx}=-sinx$ ，而 $-sin 0 = 0$ ； $ax^2+bx+c$ 微分後 $2ax+b$ ， $x=0$ 時應該要是0所以 $b=0$ 。
再微一次就可以知道 $a=-\frac{1}{2}$ ，這樣我們就得到了一個接近 $cos x$ 的二次函數。

顯然我們可以對cos無限求導，也就是說，我們需要一個無限多項的函數來表達，
$a0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3…$
通過上述的規則可知， $a_0=1$ , $a_1=0$ , $a_2=-\frac{1}{2}$ , $a_3=0$ , $a_4=\frac{1}{24}$ …

一般化形式:
$a0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3…$ = $f(x)$

$a_0=f(0)$ , $a_1=\frac{df}{dx}(0)$ , $a_2=\frac{\frac{d^2f}{dx^2}(0)}{2}$ , $a_3=\frac{\frac{d^3f}{dx^3}(0)}{6}$ …，通過這步驟可以發現 $a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ ，
所以 $f(x)=\sum_{k=0}^\infty{\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k}$ ，寫出泰勒展開式了!
如果已知 $f^{(k)}(a)$ 可以寫成 $f(x)=\sum_{k=0}^\infty{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k}$ (偏移)

精選題目區

$h(x)=\sqrt[3]{x^2+\sqrt{x^3+1}}$ , 求 $\frac{dh(x)}{dx}$
求過圓 $x^2+y^2=25$ 上一點 $(3,-4)$ 的切線方程式?
$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}, a>0$ ，證明過其上任一點的切線，被坐標軸截出線段長度為一常數。
$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=r$ 被稱為星狀圖
求 $\frac{dsin^{-1}(x)}{dx}$
求 $\frac{dsin^2(x)}{dx}$
$sin(x+y)=y^2cos(x)$ , 求 $\frac{dy}{dx}$
求 $\frac{da^x}{dx}$ , $a$ 是一常數且 $a\in \Bbb{R}$
求 $\frac{e^{sec3x}}{dx}$
求 $\frac{dln(x)}{dx}, x>0$
$f(x)=\pi^{e^{x^{\sqrt{10}}}}$ , 求 $\frac{df(x)}{dx}$
求 $\frac{d\log_a x}{dx}$
$y=\frac{x^{\frac{3}{4}}\sqrt{x^2+1}}{(3x+2)^5}$ , 求 $\frac{dy}{dx}$
求 $\frac{dx^{x^{x}}}{dx}, x>0$
求 $\frac{d(sinx)^{lnx}}{dx}, x>0$
一倒立的圓錐形容器，高 $4m$ ，底半徑 $2m$ ，現以 $2m^3/min$ 的速率倒入水，則當水面高 $3m$ 時，水面升高的速率? 加速度? (hint: $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$ )
一時鐘時針長 $8mm$ ，分針長 $4mm$ ，則在1點時，兩針針尖距離的變化率(mm/hr)?
一粒子P在平面上運動，時間 $t, t>0$ ，位置為曲線 $xy+2x=2t$ 與 $y=x^2t$ 的交點，則 $t=2$ 時P與原點的距離變化率?
一雪球體積融化的速度與表面積成正比。假設經過3小時體積融化一半，則在何時完全融化?

題目來源: http://www.math.ntu.edu.tw/~hchu/Calculus/ (感謝講義製作人!)

題目講解區:

連鎖律
Answer: $\frac{1}{3}(x^2+\sqrt{x^3+1})^{-\frac{2}{3}}(2x+\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}})$
隱微分
Answer: $\frac{3}{4}(x-3)=y+4$
隱微分後找到在 $(x_0, y_0)$ 的x-軸截距及y-軸截距。
需要用到定理: $(f^{-1})’ (b) = \frac{1}{(f)’ (f^{-1}(b))}$ ，請自行證明
Answer: $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
連鎖律
Answer: $sin 2x$
隱微分+連鎖律
Answer: $\frac{cos(x+y)+y^2sin x}{2ycosx -cos(x+y)}$
利用自然對數的性質
Answer: $2^xln 2$
自然對數、三角函數微分
Answer: $e^{sec3x}3tan(3x)sec(3x)$
反函數定理(參p4)
Answer: $\frac{1}{x}$
連鎖律
Answer: $ln(\pi)\pi ^{e^{x^{\sqrt{10}}}}e^{x^{\sqrt{10}}}\sqrt{10}x^{\sqrt{10}-1}$
一般對數轉換成自然對數
Answer: $\frac{1}{xln a}$
對數微分法:
設 $y=f(x)$ ，兩邊取 $ln$ ， $ln|y|=ln|f(x)|$ ，微分 $\frac{dln|y|}{dx}=\frac{ln|f(x)|}{dx}$
$\frac{dy}{|y|dx}=\frac{df(x)}{|f(x)|dx}$ ，得 $\frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}$

套用到這題， $ln y = ln(x^{\frac{3}{4}}\sqrt{x^2+1}) - ln(3x+2)^5$ ，微分後你就知道怎麼做了 :)
Answer: $\frac{x^{\frac{3}{4}}\sqrt{x^2+1}}{(3x+2)^5}(\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^2+1}-\frac{15}{3x+2})$
同樣是對數微分法
Answer: $[x^x(1 + ln x)lnx + x^{x-1}]x^{x^x}$
又是對數微分法
Answer: $(\frac{ln(sinx)}{x}+ln(x)cot(x))(sinx)^{lnx}$
(施工中)
Answer: $\frac{8}{9\pi}$ , $\frac{128}{243\pi ^2}$
(施工中)
Answer: $-\frac{22}{3\sqrt{5-2\sqrt{3}}}\pi$
(施工中)
Answer: $\frac{sqrt{5}}{2}^3$
(施工中)
Answer: $\frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}-1}$