微分

定義一函數的平均變化率為$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$，則$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$為該函數在點$x$的瞬間變化率。又可以寫成$\frac{df(x)}{dx}$

有些人會把$\frac{df(x)}{dx}$當作一種表示方法:$f(x)$對$x$微分，但是我認為以另一種方式去理解的話會有更加深刻的看法。

對於一個曲線，我們可以取兩點$a, b$，並且得知兩點之間的平均變化率。

而現在我們把$|b-a|$慢慢縮小

越來越小…

我們可以寫成$dx = b - a$，表示一個微小的$x$變化，同樣的這個曲線的輸出值$f(x)$，也會有個微小的輸出變化$dy = f(b) - f(a) = f(a + dx) - f(a)$，而這段的平均變化率寫成$\frac{dy}{dx}$。
所以$dx, dy$是可以有意義的，不只是表示而已，至少我這樣理解一直都是對的，知道這點會讓以後的微積分運算變得直覺許多。

具象化微分公式

加法: $\frac{d(f(x) + g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx} + \frac{dg(x)}{dx}$
$f(x)+g(x)$可以看成兩條線相連，而$df(x)$、$dg(x)$則是微小的變化量，寫成$d(f(x) + g(x))=df(x) + dg(x)$，同除$dx$，取極限，噹噹(｡A｡)

乘法: $\frac{d(f(x)g(x))}{dx}=\frac{df(x)g(x)}{dx} + \frac{dg(x)f(x)}{dx}$
$f(x)\times g(x)$可以看成一個矩形的面積，

求面積變化量相當於微小的變化量$df(x)g(x)$、$dg(x)f(x)$與$dg(x)df(x)$的和。
寫成$d(f(x)g(x)) = df(x)g(x) + dg(x)f(x) + df(x)dg(x)$，兩邊同除$dx$，取極限$\lim\limits_{dx\to 0}$，得到$\frac{df(x)g(x)}{dx} + \frac{dg(x)f(x)}{dx} + \frac{dg(x)df(x)}{dx}$
最後一項會因為$dg(x)$取了極限而為0(或是$df(x)$都可以，看你的$dx$要跟誰除)。
最後就成為了$\frac{f(x)\times g(x)}{dx}=\frac{df(x)g(x)}{dx} + \frac{dg(x)f(x)}{dx}$

減法: $\frac{d(f(x) - g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx} - \frac{dg(x)}{dx}$
就跟加法一樣的想法，不多贅述。

除法: $\frac{d\frac{f(x)}{g(x)}}{dx} = \frac{\frac{df(x)g(x)}{dx}-\frac{dg(x)f(x)}{dx}}{g^2(x)}$
這個我不知道怎麼具象化出來…只能用代數去解了(´・ω・`)
$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$
$h(x)g(x) = f(x)$
$\frac{dh(x)g(x)}{dx} + \frac{dg(x)h(x)}{dx} = \frac{df(x)}{dx}$

$\frac{dh(x)g(x)}{dx} = \frac{df(x)}{dx} - \frac{dg(x)h(x)}{dx}$

$\frac{dh(x)}{dx} = \frac{\frac{df(x)}{dx} - \frac{dg(x)h(x)}{dx}}{g(x)}$

$\frac{dh(x)}{dx} = \frac{\frac{df(x)}{dx} - \frac{dg(x)\frac{f(x)}{g(x)}}{dx}}{g(x)}$

$\frac{dh(x)}{dx} = \frac{df(x)g(x)}{dx g^2(x)} - \frac{dg(x)f(x)}{dx g^2(x)}$

$\frac{d\frac{f(x)}{g(x)}}{dx} = \frac{\frac{df(x)g(x)}{dx}-\frac{dg(x)f(x)}{dx}}{g^2(x)}$

冪次: $\frac{dx^n}{dx} = nx^{n-1}$

從$n=2$開始，可以想像一個$x\times x$的正方形，其變化量是$d(x^2)=2dx \times x + dx^2$，同除$dx$，取$dx\to 0$的極限下，會讓$dx$接近0而被消去
$n=3$，想像一個$x\times x\times x$的立方體，變化量是$d(x^3) = 3dx\times x^2 + 3dx^2\times x + dx^3$，同上面的操作。
$n=4$，無法想像但是可以找到一些規律，變化量是$d(x^4) = 4dx\times x^3 …$之類的，因為之後的項全都有$dx$，所以都會被忽略掉。
$n=n$，可以想到$d(x^n) = ndx\times x^{n-1}…$，得到$\frac{dx^n}{dx} = nx^{n-1}$

鏈式: $\frac{dg(f(x))}{dx} = \frac{dg(f(x))}{df(x)}\frac{df(x)}{dx}$

把$f(x)$看做一個數$k$

可以寫出$\frac{dg(k)}{dk} \times dk = dg(k)$，其中$dg(k)$為這個函數$g(x)$的變化量。
將$k$寫回去後，$\frac{dg(f(x))}{df(x)} \times df(x) = dg(f(x))$，同除$dx$，$\frac{dg(f(x))}{df(x)} \times \frac{df(x)}{dx} = \frac{dg(f(x))}{dx}$

隱微分

相信一開始學到圓方程式如何微分時，大部分人都會感到困惑。
書上都直接寫$x^2+y^2=r^2$，微分$2xdx+2ydy=0$，做一下對調$-\frac{x}{y}=\frac{dy}{dx}$，就好了。
看起來很對，但是很奇怪，我們到底在對甚麼微分?

其實本質上仍然是對$x$微分，只是書本常常省略(可能只是我看的書沒寫)。
假設$y=f(x)$，$x^2+f(x)^2=r^2$對$x$微分，$2x+2f(x)\frac{df(x)}{dx}=0$，排列一下$\frac{df(x)}{dx}=-\frac{x}{f(x)}$，把$f(x)$換成$y$，這跟上面那個微分方式是等價的。

隱微分對於複雜的方程式非常有用。

泰勒展開式

有些函數很難求出某些特定值，例如$cos 9.02323$這種，如果可以把它寫成多項式的話，就可以得到近似值。
我們說某個多項式等於某個函數，只要他們的各階導數相同。

推導(以$cos x$當例子):
我們假設有一個多項式$ax^2+bx+c$，我們要讓他盡量等於$cos x$，首先注意到的是$cos 0=1$，所以$c=1$。
接著$\frac{dcos x}{dx}=-sinx$，而$-sin 0 = 0$；$ax^2+bx+c$微分後$2ax+b$，$x=0$時應該要是0所以$b=0$。
再微一次就可以知道$a=-\frac{1}{2}$，這樣我們就得到了一個接近$cos x$的二次函數。

顯然我們可以對cos無限求導，也就是說，我們需要一個無限多項的函數來表達，
$a0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3…$
通過上述的規則可知，$a_0=1$, $a_1=0$, $a_2=-\frac{1}{2}$, $a_3=0$, $a_4=\frac{1}{24}$…

一般化形式:
$a0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3…$=$f(x)$

$a_0=f(0)$, $a_1=\frac{df}{dx}(0)$, $a_2=\frac{\frac{d^2f}{dx^2}(0)}{2}$, $a_3=\frac{\frac{d^3f}{dx^3}(0)}{6}$…，通過這步驟可以發現$a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$，
所以$f(x)=\sum_{k=0}^\infty{\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k}$，寫出泰勒展開式了!
如果已知$f^{(k)}(a)$可以寫成$f(x)=\sum_{k=0}^\infty{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k}$ (偏移)

精選題目區

$h(x)=\sqrt[3]{x^2+\sqrt{x^3+1}}$, 求$\frac{dh(x)}{dx}$
求過圓$x^2+y^2=25$上一點$(3,-4)$的切線方程式?
$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}, a>0$，證明過其上任一點的切線，被坐標軸截出線段長度為一常數。
$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=r$被稱為星狀圖
求$\frac{dsin^{-1}(x)}{dx}$
求$\frac{dsin^2(x)}{dx}$
$sin(x+y)=y^2cos(x)$, 求$\frac{dy}{dx}$
求$\frac{da^x}{dx}$, $a$是一常數且$a\in \Bbb{R}$
求$\frac{e^{sec3x}}{dx}$
求$\frac{dln(x)}{dx}, x>0$
$f(x)=\pi^{e^{x^{\sqrt{10}}}}$, 求$\frac{df(x)}{dx}$
求$\frac{d\log_a x}{dx}$
$y=\frac{x^{\frac{3}{4}}\sqrt{x^2+1}}{(3x+2)^5}$, 求$\frac{dy}{dx}$
求$\frac{dx^{x^{x}}}{dx}, x>0$
求$\frac{d(sinx)^{lnx}}{dx}, x>0$
一倒立的圓錐形容器，高$4m$，底半徑$2m$，現以$2m^3/min$的速率倒入水，則當水面高$3m$時，水面升高的速率? 加速度? (hint: $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$)
一時鐘時針長$8mm$，分針長$4mm$，則在1點時，兩針針尖距離的變化率(mm/hr)?
一粒子P在平面上運動，時間$t, t>0$，位置為曲線$xy+2x=2t$與$y=x^2t$的交點，則$t=2$時P與原點的距離變化率?
一雪球體積融化的速度與表面積成正比。假設經過3小時體積融化一半，則在何時完全融化?

題目來源: http://www.math.ntu.edu.tw/~hchu/Calculus/ (感謝講義製作人!)

題目講解區:

連鎖律
Answer: $\frac{1}{3}(x^2+\sqrt{x^3+1})^{-\frac{2}{3}}(2x+\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}})$
隱微分
Answer: $\frac{3}{4}(x-3)=y+4$
隱微分後找到在$(x_0, y_0)$的x-軸截距及y-軸截距。
需要用到定理: $(f^{-1})’ (b) = \frac{1}{(f)’ (f^{-1}(b))}$，請自行證明
Answer: $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
連鎖律
Answer: $sin 2x$
隱微分+連鎖律
Answer: $\frac{cos(x+y)+y^2sin x}{2ycosx -cos(x+y)}$
利用自然對數的性質
Answer: $2^xln 2$
自然對數、三角函數微分
Answer: $e^{sec3x}3tan(3x)sec(3x)$
反函數定理(參p4)
Answer: $\frac{1}{x}$
連鎖律
Answer: $ln(\pi)\pi ^{e^{x^{\sqrt{10}}}}e^{x^{\sqrt{10}}}\sqrt{10}x^{\sqrt{10}-1}$
一般對數轉換成自然對數
Answer: $\frac{1}{xln a}$
對數微分法:
設$y=f(x)$，兩邊取$ln$，$ln|y|=ln|f(x)|$，微分$\frac{dln|y|}{dx}=\frac{ln|f(x)|}{dx}$
$\frac{dy}{|y|dx}=\frac{df(x)}{|f(x)|dx}$，得$\frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}$

套用到這題，$ln y = ln(x^{\frac{3}{4}}\sqrt{x^2+1}) - ln(3x+2)^5$，微分後你就知道怎麼做了 :)
Answer: $\frac{x^{\frac{3}{4}}\sqrt{x^2+1}}{(3x+2)^5}(\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^2+1}-\frac{15}{3x+2})$
同樣是對數微分法
Answer: $[x^x(1 + ln x)lnx + x^{x-1}]x^{x^x}$
又是對數微分法
Answer: $(\frac{ln(sinx)}{x}+ln(x)cot(x))(sinx)^{lnx}$
(施工中)
Answer: $\frac{8}{9\pi}$, $\frac{128}{243\pi ^2}$
(施工中)
Answer: $-\frac{22}{3\sqrt{5-2\sqrt{3}}}\pi$
(施工中)
Answer: $\frac{sqrt{5}}{2}^3$
(施工中)
Answer: $\frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}-1}$