一個簡單的問題: 求$f(x)$於$x\in[a,b]$與$x$軸圍成的面積。
可以很直覺的想到將切片法，$\sum f(x)\times \Delta x$，只要$\Delta x$夠小，面積就會夠接近。
我們可以將上面的式子改成一個比較簡潔的寫法: $\int_{a}^{b} f(x) dx$。
現在可以寫出一個函數$A(a,b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$，為了方便討論，假定$a=0$，$A(b) = \int_{0}^{b} f(x) dx$。
請先裝作不知道微積分基本定理，可以發現他們似乎有某種關係，$A(b)$會將$f(x), x\in[0,b]$的面積變成一條線
什麼東西乘上$\Delta x$後會等於$\Delta y$，你寫出了$\frac{\Delta y}{\Delta x}$，你意外的發現$f(x)$其實就只是$A(b)$在某一點的斜率，
而求瞬間斜率已經有一個好用的微分了，你可以大膽寫下$A(b) = \int_{0}^{b} A’(x) dx = \int_{0}^{b} \frac{dA(x)}{dx} dx$，
因此現在要求$f(x)$於$x\in[0,b]$與$x$軸圍成的面積，只需要找到一個$A(x)$微分後等於$f(x)$的函數，再將$b$代入就是答案，
而$x\in [a,b]$可以用求兩次面積扣掉後得到，$A(b)-A(a) = \int_{a}^{b} f(x) dx$。