前言

來完結以前 的心願。(((o(ﾟ▽ﾟ)o)))

推導

首先可以先從2維到3維推導，根據常識，可以知道3維體積就是無限多個2維面積的總和。
也就是說將無限多個2維球面積加起來，就是3維體積，這同時也是切片法的概念。
同樣的道理，將3維球體體積加起來，即是4維球體體積。

• 3維球體體積推導:

$x^2+y^2+z^2=r^2$，因為我們需要知道2維切面的半徑，所以先將$z^2$(或任意軸)搬過去，
$x^2+y^2=r^2-z^2=R^2$，現在只要在z軸上走動，就可以知道這個2維切面的半徑為何。
現在我們來積分，$V_3 = 2\int_{0}^{r} \pi R^2 dz = 2\pi \int_{0}^{r} r^2-z^2 dz$。
反導函數即為$r^2 z - \frac{1}{3} z^3$，則$V_3 = \frac{4}{3}r^3\pi$

• 4維球體體積推導:

$x^2+y^2+z^2+k^2=r^2$，同樣的把戲，$x^2+y^2+z^2=r^2-k^2=R^2$
$V_4 = 2\int_{0}{r} \pi \frac{4}{3}R^3 dk$，因為$(r^2-k^2)^{\frac{1}{2}} = R$,
$\frac{8}{3}\pi \int_{0}^{r} (r^2 - k^2)^{\frac{3}{2}} dk$，這裡需要用到變數代換了，不然根本沒辦法做。
$k = r (sinu)$,$dk = r (cosu) du$，換完變成
$\frac{8}{3}\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (r^2 - r^2sin^2u)^{\frac{3}{2}} r(cosu) du$
$\frac{8}{3}\pi r^4 \int_{0}{\frac{\pi}{2}} cos^4u du$
這邊需要用到$cos2u = 2cos^2u - 1$?
兩邊平方，$cos^2 2u = 4cos^4u - 4cos^2u + 1$,$cos^4u = \frac{1}{4}cos^2 2u + cos^2u - \frac{1}{4}$。
$\frac{8}{3}\pi r^4 \int_{0}{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4}cos^2 2u + cos^2u - \frac{1}{4} du$，同樣利用上面的公式再換一下，
$\frac{8}{3}\pi r^4 \int_{0}{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{8}cos 4u + \frac{1}{2}cos 2u + \frac{3}{8} du$，反導函數為$\frac{1}{32}sin4u+\frac{1}{4}sin2u+\frac{3}{8}u$
最終得到$V_4 = \frac{1}{2} \pi^2 r^4$

• 5維球體體積推導:

$x^2+y^2+z^2+k^2+l^2=r^2$,$x^2+y^2+z^2+k^2=r^2-l^2=R^2$
依樣畫葫蘆，$2\int_{0}^{r} \frac{1}{2} \pi^2 r^4$，得到$\frac{8}{15} \pi^2 r^5$

• n維球體體積推導:

利用以上的方法將2~10維的體積全列出來

2: $r^2 \pi$
3: $\frac{4}{3} r^3 \pi$
4: $\frac{1}{2} r^4 \pi^2$
5: $\frac{8}{15} r^5 \pi^2$
6: $\frac{1}{6} r^6 \pi^3$
7: $\frac{16}{105} r^7 \pi^3$
8: $\frac{1}{24} r^8 \pi^4$
9: $\frac{32}{945} r^9 \pi^4$
10:$\frac{1}{120} r^{10} \pi^5$

可以發現$\pi$的次方一直都是$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$，以及$r$的次方為$n$

進一步分成偶數與奇數的話，前面的分數就會有某種規律可循，偶數為$\frac{1}{\frac{n}{2}!}$，而奇數為$\frac{2^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}{\prod_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} (2i+1)}$
故可以整理出通式:

when n is odd,
$V_n = \frac{2^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}{\prod_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} (2i+1)} r^n \pi^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$
else
$V_n = \frac{1}{\frac{n}{2}!} r^n \pi^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$

補充: 在上面的推導中寫道 $V_3 = 2\int_{0}^{r} \pi R^2 dz$，可以想像為一個圓形乘上z軸上一個小小的高，同樣的想法也可以適用於高維度空間。

補充: 球面積是體積的微分(對r)，可以自己想想看為什麼。

結語

這個問題算是我想了很久才想出來的，一般高中教材是用旋轉法來計算球體積，但是這個方法拓展到高維，我就不知道怎麼做了，要繞哪一軸旋轉? 轉什麼?
既然常用的推不出去，只好從最基礎的定義去推導，才能推廣到高維。
思考的過程很有趣，故留筆此篇。