$log_a x$與$a^x$只有一個交點，請問$a$為多少?
- 先考慮$a>1$
$a=e，無交點$
$a=1.44，兩交點$
首先，我們知道$log_a x$與$a^x$對稱於$x=y$直線，那麼如果只有一交點，則交點必在其($x=y$)上。
假設交點為$(k, k)$，而因為$x=y$是$log_a x$的切線，故$log_a x$在$x=k$的斜率為1，而$a^x$也是。
將$log_a x$微分後得到$\frac{1}{xlna}$，當$x=\frac{1}{lna}$時，斜率才為1。
將$a^x$微分後得$a^x ln a$，將$x=\frac{1}{ln a}$代進去，整理一下會寫出$eln a = 1$，套進上面的$\frac{1}{ln a}$後得到$x = e$
則$a^e = e$，$a = \sqrt[e]{e}$，大約是1.44。
也就是說當$1 < a \leq \sqrt[e]{e}$時，才會有一個或一個以上交點存在。
- 考慮$a<1$
$a=0.066$，恰一交點
$a=0.022$，恰三交點
可知道恰一交點時，$log_a x$與$a^x$的交點之切線斜率為-1。
利用微分故技重施，$\frac{1}{xln a}$，當$x=-\frac{1}{ln a}$時，斜率才為-1。
$a^x ln a$，將上面的$x$帶進去，得到$e^{-1}ln a = -1$，套進上面的$\frac{1}{ln a}$得到$x=\frac{1}{e}$，因為必交於$x=y$上，故$y = \frac{1}{e}$。
則$a=e^{-e}$，約為0.0659。
也就是說當$e^{-e} \leq a < 1$，只會有一交點。 而當$0 < a < e^{-e}$，則會有三個交點。
綜上所述，可以整理出規則:
$a \in (0,e^{-e})$時，有三個交點。
$a \in [e^{-e}, 1)$時，有一個交點。
$a \in (1, \sqrt[e]{e})$，有兩個交點。
$a = \sqrt[e]{e}$，有一個交點。
$a \in (\sqrt[e]{e}, \infty)$，有零個交點。