在3blue1brown的頻道看了https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs ，覺得這個超有趣的，分享一下。
在無摩擦力的環境中，有一面質量無限大，並且不會吸收任何能量的牆，以及兩個方塊。
當最右邊的方塊以速度$V$往左移動，且質量為左邊方塊的1倍，整個系統的碰撞數為3。
當最右邊的方塊以速度$V$往左移動，且質量為左邊方塊的100倍，整個系統的碰撞數為31。
當最右邊的方塊以速度$V$往左移動，且質量為左邊方塊的10000倍，整個系統的碰撞數為314。
當最右邊的方塊以速度$V$往左移動，且質量為左邊方塊的1000000倍，整個系統的碰撞數為3141。
當最右邊的方塊($m_2$)以速度$V$往左移動，且左邊方塊質量為$m_1$，求這個系統的總碰撞次數?
可以寫出動能守恆與動量守恆兩個式子:
$\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = k$
$m_1v_1 + m_2v_2 = p$
有上面的提示，我們可以對號入座一下，把動能守恆的式子改寫成圓方程式:
$(\sqrt{m_1}v_1)^2 + (\sqrt{m_2}v_2)^2 = 2k$
這就是在兩軸分別代表$\sqrt{m_1}v_1$, $\sqrt{m_2}v_2$時的圓方程式。
初始點很顯然在最下方(定義向左的速度為負)，
經過一次碰撞後，點會往上升一點，且往左一點，並因為遵守動能守恆而會在圓上。
經過許多碰撞後，最終$v1$會與$v2$同方向(>0)，且小於$v2$。
進入下一步前，我們得先了解那條紅色的線是怎麼來的。
還記得動量守恆嗎? 我們可以將其改寫:
$\sqrt{m_1}(\sqrt{m_1}v_1) + \sqrt{m_2}(\sqrt{m_2}v_2) = p$
這樣在軸上實際代表一條斜率為$-\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$的直線，而每次左方塊與右方塊碰撞時，必遵守這個式子，也就是說點必在此直線上。($p$會因為左方塊與牆壁的碰撞而改變)
那麼圓與直線的交點即為碰撞後的位置。
至於中間幾條與$x$軸平行的是左方塊與牆壁的碰撞。
因為斜率一樣，且中間的線平行$x$軸，可以很清楚的確定這些角度$\theta$一樣。
而這樣問題就變成了
$n\theta < \pi$，問最大的$n$為何，$n \in N$。
對於$\theta$我們可以從斜率著手，$tan \theta = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
取$tan^{-1}$後，$\theta = tan^{-1} \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
設$Tm_1 = m_2$，$\theta = tan^{-1} \sqrt{\frac{1}{T}}$
問題變成:
$n < \frac{\pi}{tan^{-1} \sqrt{\frac{1}{T}}}$
對於$tan^{-1}$有個性質，$tan^{-1} 10^{-x}$約等於$10^{-x}$，$x$越大，這個性質越明顯。
故如果$T$為$10^x$則可以換成
$n < \frac{\pi}{tan^{-1} 10^{-\frac{x}{2}}}$
$n < \frac{\pi}{10^{-\frac{x}{2}}}$
$n < 10^{\frac{x}{2}}\pi$
答案為:
$n = \lfloor 10^{\frac{x}{2}}\pi \rfloor$