前言

在2020的最後一天完成這件事，剩下的留待明年吧…

在知道有解析研拓這種東西後，我試著把一些高中的函數展開，比如log, sin, cos, exponential，但是階乘這個常見的東西卻困擾著我，到底要怎麼展開。

推導

首先考慮這個函數: $f(k,m)=\int_0^1 x^k (1-x)^m dx$，為甚麼需要這個函數呢? 當我們對它分部積分後會得到

$f(k,m) = \frac{m}{k+1}f(k+1,m-1)$

這樣一個遞迴式。
把它展開後會得到$f(k,m)=\frac{m!}{\prod_{i=1}^{m+1}(k+i)}$，移項得到$f(k,m)\prod_{i=1}^{m+1}(k+i)=m!$
這算是階乘展開的第一步，雖然這個形式還只能代正整數。
我們繼續把它展開，無法代除了正整數以外是因為這部分$\prod_{i=1}^{m+1}(k+i)$，如果可以把它消掉或許可以成功拓展。
令$k=\frac{a}{b}$，整理上面的公式得，

$\int_0^1 x^{\frac{a}{b}} (1-x)^m dx = \frac{m!}{\prod_{i=1}^{m+1}(\frac{a}{b}+i)}$
$\int_0^1 x^{\frac{a}{b}} (1-x)^m dx = \frac{m!b^{m+1}}{\prod_{i=1}^{m+1}(a+ib)}$

如果取極限$a \to 1$, $b \to 0$，右邊式子的分數就會消掉，但是上面的$b^{m+1}$很礙事，既然解決不了問題，就解決造成問題的東西，
先把$b^{m+1}$弄去左邊，再取極限

$\lim_{a \to 1} lim_{b \to 0} b^{-(m+1)}\int_0^1 x^{\frac{a}{b}} (1-x)^m dx = m!$

現在我們focus在積分上，我們期望把積分裡面的$x^{\frac{a}{b}}$去掉，令$x=k^c$, $dx = ck^{c-1}dk$

$\int_0^1 x^{\frac{a}{b}} (1-x)^m dx = \int_0^1 k^{\frac{ac}{b}} (1-k^c)^m ck^{c-1} dk$

要把$x^{\frac{a}{b}}$(也就是$k^{\frac{ac}{b}}$)，必須使$\frac{ac}{b}+c-1=0$，解出$c=\frac{b}{a+b}$。
將上面的極限式換掉

$\lim_{a \to 1} lim_{b \to 0} b^{-(m+1)}\int_0^1 \frac{b}{a+b}{(1-k^{\frac{b}{a+b}})}^m dk = m!$
$\lim_{a \to 1} lim_{b \to 0} (a+b)^{-(m+1)}\int_0^1 ({\frac{1-k^{\frac{b}{a+b}}}{\frac{b}{a+b}}})^m dk = m!$
$lim_{b \to 0} (1+b)^{-(m+1)}\int_0^1 ({\frac{1-k^{\frac{b}{1+b}}}{\frac{b}{1+b}}})^m dk = m!$
$\int_0^1 lim_{b \to 0} ({\frac{1-k^{\frac{b}{1+b}}}{\frac{b}{1+b}}})^m dk = m!$

考慮一極限$lim_{x \to 0} \frac{1-k^x}{x}$，根據那個好用到不行的法則，得到$lim_{x \to 0} \frac{1-k^x}{x} = -ln k$。

$\int_0^1 (-ln k)^m dk = m!$

令$k=e^{-t}$, $dk = -e^{-t}dt$

$\int_{\infty}^0 -t^m e^{-t} dt = m!$
$\int_0^{\infty} t^m e^{-t} dt = m!$

至此，我們可以代入奇怪的數進階乘了d(`･∀･)b
甚至可以對$e^{-t}$泰勒展開，拓展到複數域。

小常識: 階乘其實有很多種解析方式，每種都會產生不同的函數，這只是其中一種，也是實務上使用最多的一種，因為可以連結到Gamma function: $\Gamma(x) = (x-1)!$

Reference

http://www.cust.edu.tw/mathmet/graph/gamma-prop.htm
https://cosx.org/2013/01/lda-math-gamma-function/
https://zhuanlan.zhihu.com/p/114041258
https://www.csie.ntu.edu.tw/~b89089/link/gammaFunction.pdf
https://kknews.cc/zh-tw/education/vlkv53a.html
http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/jdf/proyectos/Euler_integral.pdf

新年新希望: 數學15級, 英文15級, 自然15級, 研究Gamma function, 補完vpython, 共形映射的文章, 學好abstract algebra, linear algebra, real/complex analysis