前言

這邊會把很多個零碎的知識點集中，整體沒什麼連貫性，只是很有趣而已。

主體

指對數, 三角函數擴展到複數域

對數:

根據歐拉公式$e^{i\theta} = (cos\theta + isin\theta)$，所有複數都可以用$re^{i\theta}$表達。
這就讓對數可以突破正實數的限制(0還是不行)，例如:

• $ln(-1) = ln(e^{i\pi}) = i\pi$
• $ln(i) = ln(e^{i\frac{\pi}{2}}) = i\frac{\pi}{2}$

指數:

同樣的，根據歐拉公式，複數代入指數也能計算，$x^{ai+b} = e^{(ln x)(ai + b)}$。
以前一些看似無解的方程式也有解了，例如:

• $1^x = 2$, $x = \frac{ln(2)}{2n\pi i}$

三角函數:

這次需要用到泰勒展開，眾所周知，

• $e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!}…$
• $sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}…$

將$e^x$改成$e^{ix}$及$e^{-ix}$，

• $e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!}…$
• $e^{-ix} = 1 - \frac{ix}{1!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{ix^3}{3!}…$

$e^{ix} - e^{-ix}$後會發現只要多除$2i$即是$sin x$
亦即，

• $sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

$cos x$也可以用同樣的方法寫出來

• $cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$。

當然也可以用歐拉公式推得，
$e^{ix} = (cos x + isin x)$

$e^{i(-x)} = (cos x - isin x)$

$e^{ix} - e^{i(-x)} = 2i sin x$

$\frac{e^{ix} - e^{i(-x)}}{2i} = sin x$

實數階導數, 積分

沒看錯，繼階乘後，導數也可以有$\frac{1}{2}$階，或是$\pi$階，連積分都可以。
設一函數$f(x) = x^n$，則

• $k(k<n)$階導數為$f^{(k)}(x) = \frac{n!}{(n-k)!}x^{(n-k)}$

還記得階乘其實可以解析出去嗎?
將上式改寫成

• $f^{(k)}(x) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)}x^{(n-k)}$
  這下子就可以寫出$\frac{1}{2}$階導數了。

例子:

• $f(x) = x$, $\frac{1}{2}$階導數是$\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(\frac{3}{2})}x^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}x^{\frac{1}{2}}$

當然，複數階導數也可以。

積分的話，需要用到引理，在此不證明:

• $\int^t_a \int^y_a f(x, y)dx dy = \int^t_a \int^t_x f(x, y)dy dx$

假設$I_2 = \int^{\alpha_3}_0 \int^{\alpha_2}_0 f(\alpha_1) d\alpha_1 d\alpha_2$

(這邊的mathjax壞了只好用圖片代替)

繼續寫出$I_3$, $I_4$…
$I_3 = \int^{\alpha_4}_0 I_2 = \frac{1}{2} \int^{\alpha_4}_0 f(\alpha_1)(\alpha_4 - \alpha_1)^2 d\alpha_1$
$I_4 = \int^{\alpha_5}_0 I_3 = \frac{1}{6} \int^{\alpha_5}_0 f(\alpha_1)(\alpha_5 - \alpha_1)^3 d\alpha_1$

可以發現一規律，且可以用數學歸納法證明無誤

• $I_n = \frac{1}{(n-1)!} \int^{\alpha}_0 f(x) (\alpha-x)^{n-1} dx$

又看到階乘了，直接換成$\Gamma$函數

• $I_n = \frac{1}{\Gamma(n)} \int^{\alpha}_0 f(x) (\alpha-x)^{n-1} dx$

這下子我們就可以代實數進去了(複數也可以)。

多變數泰勒展開式

某一天在別人的blog看到這個詞，但是沒有點進去，而是開始自己試圖將單變數泰勒展開推導至多變數，所以不確定推導的正確性。

我自己對泰勒展開的推導是如此(簡化一點，一律只討論$x=0$附近):
假設某函數$f(x)$可以寫成多項式$a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 … a_nx^n = g(x)$，

我們也很直覺的知道當兩函數相等，$f^{(n)}(x) = g^{(n)}(x), n \in \mathbb{N}$

利用這點可以知道$a_0 = f(0)$, $a_1 = f’(0)$, $a_2 = \frac{f’’(0)}{2!}$, …, $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$

故$f(x) = f(0) + f’(0)x + \frac{f’’(0)}{2!}x^2 + … \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

現在推廣至多變數，理應也是利用類似$f^{(n)}(x) = g^{(n)}(x), n \in \mathbb{N}$的方法去定義。

假設某函數$f(x, y)$可以寫成多項式$c + a_1x + b_1y + a_2x^2 + b_2y^2 + a_3x^3 +b_3y^3 … a_nx^n b_ny^n = g(x, y)$，

可以知道$\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = \frac{\partial g}{\partial x}(x, y)$, $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial g}{\partial y}(x, y)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y) = \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(x, y)$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y) = \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}(x, y)$

接著就可以用剛剛的方法求各項係數，但是當我想展開$f(x,y) = xy$時，卻無法正確展開，所以我認為還需要多加上各變數的乘積，

$f(x, y) = d + a_1x + b_1y + c_{1,1}xy + a_2x^2 + b_2y^2 + c_{1, 2}xy^2 + c_{2, 1}x^2y + c_{2, 2}x^2y^2 …$

利用偏微分可以知道
$d = f(0, 0)$, $a_1 = \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)$, $b_1 = \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)$, $c_{1, 1} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0)$

$a_2 = \frac{1}{2!}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y)$, $b_2 = \frac{1}{2!}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y)$

得$f(x, y) = f(0, 0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)y + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0)xy + \frac{1}{2!}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y)x^2 + \frac{1}{2!}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y)y^2 …$

更多變數時也是一樣，但是我不知道要怎麼更簡潔的寫出來 (Q _ Q)

• 2.27.21 更新
  後來有想到可以用$\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{a_1 + a_2 + … + a_k = n} \frac{1}{a_1! a_2! … a_k!} \frac{\partial^n f}{\partial x_{1}^{a_1} \partial x_{2}^{a_2} … \partial x_{k}^{a^k}}(0, …, 0)x_{1}^{a_1}x_{2}^{a_2}…x_{k}^{a^k}$

Reference

https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus
https://zhuanlan.zhihu.com/p/124627581
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem
https://mathinsight.org/taylors_theorem_multivariable_introduction
https://sites.math.washington.edu/~folland/Math425/taylor2.pdf