前言

這個問題我最早是高三上從youtube看到的，但是直到最近才開始研究解法。
總共三篇不同解法，第一個是約翰·伯努利提出的解法、第二個是歐拉、拉格朗日提出的解法(當初雅各布·伯努利的解法也用到了變分的思想所以就統一寫一起了)、第三個比較特別，不是最速降線，但結果同樣是擺線。
這是第一篇。

問題

在無摩擦力、只有重力的情況下，一質點從一點A為起點，由速率0開始沿著某曲線滑，至B點(高度不超過A)，且 耗時最短 ，求此曲線。

光解法

約翰·伯努利(歐拉的老師)提出這個解法。

由費馬原理可以知道光總是走耗時最少的路徑，可以利用光來類比質點，求得最速路徑。

首先，可以知道一質點垂直方向下降$y$時的速度，$v = \sqrt{2gy}$。
可以構造出無限多層、但總厚度固定的不同介質，使得光速也滿足上面的速度條件。
又由於折射定律$\frac{sin\theta_k}{v_k} = C$

得$\frac{sin\theta}{\sqrt{y}} = C\sqrt{2g}$

這個式子代表，這個曲線的任一點都滿足此條件，由此可以計算出此曲線。

將$sin\theta$換成$dx,dy,ds$的形式:
$\frac{\frac{dx}{ds}}{\sqrt{y}} = C’$

$\frac{\frac{dx}{\sqrt{dx^2 + dy^2}}}{\sqrt{y}} = C’$

$\frac{\frac{dx^2}{dx^2 + dy^2}}{y} = C’^2$

$\frac{dx^2}{dx^2 + dy^2} = yK$, $K = 2gC^2$

左式上下同除$dx^2$
$\frac{1}{1 + y’^2} = yK$

$y’^2 = (yK)^{-1} - 1$

$y’ = \sqrt{(yK)^{-1} - 1}$

$((yK)^{-1} - 1)^{-\frac{1}{2}} dy = dx$

$(\frac{1 - yK}{yK})^{-\frac{1}{2}} dy = dx$

$(\frac{yK}{1 - yK})^{\frac{1}{2}} dy = dx$
兩邊積分
$\int (\frac{yK}{1 - yK})^{\frac{1}{2}} dy = \int dx$

令$y = \frac{sin^2\theta}{K}$, $dy = \frac{2sin\theta cos\theta}{K} d\theta$

$\int \frac{2sin^2\theta}{K} d\theta = x$

$\frac{1}{K}\int 2sin^2\theta d\theta = x$

$\frac{1}{K}(\theta - \frac{1}{2}sin2\theta) + C = x$

$\frac{1}{2K}(2\theta - sin2\theta) + C = x$

整理好，令$\alpha = 2\theta$
$x = \frac{1}{4gC^2}(\alpha - sin\alpha) + C$
$y = \frac{sin^2\theta}{K} = \frac{1}{4gC^2}(1-cos\alpha)$

這個即是 擺線的參數方程式。

結語

這個方法跟變分法比起來缺乏一般性，但這不影響這個解法非常精采。
表面上看起來缺乏變分的想法，但實際上，「光的路徑」這一概念可以連結到最小作用量，也就是說，這個解法將變分包裝了起來，本質上還是變分的想法。

Reference

http://www.cust.edu.tw/mathmet/brachistochrone.pdf
https://zhuanlan.zhihu.com/p/20718489
http://boson4.phys.tku.edu.tw/fundamentals_of_math_phys/unit-33_Variation__calculus%20_of_variation.html
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%8F%98%E5%88%86%E6%B3%95
https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_lemma_of_calculus_of_variations
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%90%E6%8B%89-%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E6%96%B9%E7%A8%8B
https://www.zhihu.com/question/39494645
https://www.jianshu.com/p/961e890e88b2